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已知函数

1)求函数在点(0,f(0))处的切线方程;

2)求函数单调递增区间;

3)若[11]使得e是自然对数的底数),求实数的取值范围.

 

1)函数在点处的切线方程为 2)函数单调递增区间

3)实数a的取值范围是.

【解析】

试题分析:⑴ 先根据函数解析式求出,把代入求出斜率,进而求得切线方程;⑵ 因为当时,总有上是增函数, 又,所以函数的单调增区间为;⑶ 要使成立,只需成立即可;再分两种情况讨论即可.

试题解析:⑴ 因为函数

所以2

又因为,所以函数在点处的切线方程为4

⑵ 由⑴,

因为当时,总有上是增函数,

,所以不等式的解集为

故函数的单调增区间为 8

⑶ 因为存在,使得成立,

而当时,

所以只要即可 9

又因为的变化情况如下表所示:

减函数

极小值

增函数

所以上是减函数,在上是增函数,所以当时,的最小值

的最大值中的最大值.

因为

,因为

所以上是增函数.

,故当时,,即

时,,即

所以,当时,,即,函数上是增函数,解得;当时,,即,函数上是减函数,解得

综上可知,所求的取值范围为 13

考点:导数的几何意义、导数的应用、构造法的应用.

 

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