Question

已知函数f（x）=4sinωxcos（ωx+

π

3

）+

3

（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若y=f（x）+m在[-

π

4

，

π

6

]的最小值为2，求m值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先展开两角和的余弦公式，然后利用单项式乘多项式展开，降幂后化为y=Asin（ωx+Φ）的形式，由周期求出ω，则函数的解析式可求；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中求出的解析式，结合给出的角的范围求出y=f（x）+m在[-

π

4

，

π

6

]的最小值，由最小值为2列式求m的值．

解答：解：解：（Ⅰ）由f（x）=4sinωxcos（ωx+

π

3

）+

3

，得
f(x)=4sinωx(cosωxcos

π

3

-sinωxsin

π

3

)+

3

=2sinωxcosωx-2

3

sin2ωx+

3

=sin2ωx+

3

cos2ωx
=2sin(2ωx+

π

3

)．
∵T=

2π

2ω

=π，∴ω=1
∴f(x)=2sin(2x+

π

3

)；
（2）y=f（x）+m=2sin(2x+

π

3

)+m
∵-

π

4

≤x≤

π

6

，∴-

π

6

≤2x+

π

3

≤

2

3

π．
当2x+

π

3

=-

π

6

，即x=-

π

4

时，y_min=-1+m=2，∴m=3．

点评：本题考查了函数解析式的求法，考查了与三角函数有关的复合函数的单调性，训练了三角函数的最值的求法，是中档题．