Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为

2

的正方形，E为PC的中点，PB=PD．
平面PBD⊥平面ABCD．
（1）证明：PA∥平面EDB．
（2）求三棱锥E-BCD与三棱锥P-ABD的体积比．

Answer 1

分析：（1）连A、C交BD于O，则OE是△PAC的中位线，可得OE∥PA，从而证明PA∥平面DEB．
（2）E到平面ABCD的距离是P到平面ABCD的距离的一半，△BCD与△ABD的面积相等，故体积之比等于

1

2

．

解答：解：
（1）证明：连A、C交BD于O，连O、E，因为底面是正方形，所以，O是AC的中点，
又因为E是PC的中点，所以OE是△PAC的中位线，所以，OE∥PA，
又因为OE?平面DEB，PA?平面DEB，所以PA∥平面DEB．
（2）因为E是PC的中点，所以，E到平面ABCD的距离是P到平面ABCD的距离的一半，△BCD与△ABD的面积相等，
所以，

VE-BCD

VP-ABD

=

1

2

．

点评：本题考查证明线面平行的方法，求三棱锥的体积，证明OE是△PAC的中位线，是解题的关键．