Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，1)，P是动点，且△POA的三边所在直线的斜率满足kOP＋kOA＝kPA.

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且＝λ，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P，使得△PQA和△PAM的面积满足S△PQA＝2S△PAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

（1）y＝x2(x≠0且x≠－1)（2）(1，1)

【解析】(1)设点P(x，y)为所求轨迹上的任意一点，则由kOP＋kOA＝kPA得，

整理得轨迹C的方程为y＝x2(x≠0且x≠－1)．

(2)设P(x1，)，Q(x2，，M(x0，y0)，

由＝λ可知直线PQ∥OA，则kPQ＝kOA，故，即x2＋x1＝－1，

由O、M、P三点共线可知，＝(x0，y0)与＝(x1，)共线，

∴x0－x1y0＝0，由(1)知x1≠0，故y0＝x0x1，

同理，由＝(x0＋1，y0－1)与＝(x2＋1，－1)共线可知(x0＋1)(－1)－(x2＋1)(y0－1)＝0，即(x2＋1)[(x0＋1)·(x2－1)－(y0－1)]＝0，

由(1)知x2≠－1，故(x0＋1)(x2－1)－(y0－1)＝0，

将y0＝x0x1，x2＝－1－x1代入上式得(x0＋1)(－2－x1)－(x0x1－1)＝0，

整理得－2x0(x1＋1)＝x1＋1，由x1≠－1得x0＝－，由S△PQA＝2S△PAM，得到QA＝2AM，

∵PQ∥OA，∴OP＝2OM，∴＝2，∴x1＝1，∴P的坐标为(1，1)