【题目】已知函数.
(Ⅰ)若的值域为
,求
的值;
(Ⅱ)巳,是否存在这祥的实数
,使函数
在区间
内有且只有一个零点.若存在,求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)存在,
【解析】
(1)的值域为
,则函数
必须是开口向上、与
轴有唯一交点的二次函数.可以求出
的值.
(2)已知某函数零点个数,求参数问题,函数零点问题可以转化为方程根或者通过转化变成两图象交点个数问题.本题中令 ,则它的图象非常熟悉,而
在
∈
的图象则需要考虑是否是二次函数,当确定是二次函数时,考虑函数的开口方向,对称轴与区间的位置关系(为了更好的研究函数在区间的单调性,便于考虑它的性质).
(Ⅰ)函数的值域为
,则
,解得
.
(Ⅱ)由,
即
令,
,
∈
,原命题等价于两个函数
与
的图象在
内有唯一交点.
(1)当时,
在
上递减,
在
上递增,
而g(1)=1>0=h(1),g(2)=-1<1=h(2),
∴函数与
的图象在
内有唯一交点.
(2)当时,
图象开口向下,对称轴为
,
在
上递减,
在
上递增,
与
的图象在
内有唯一交点,
当且仅当,即
即
.
∴
(3)当时,
图象开口向上,对称轴为
,
在
上递减,
在
上递增,
与
的图象在
内有唯一交点,
,即
即
,
∴.
综上,存在实数,使函数
于在区间
内有且只有一个点.
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【题目】已知正方形的对角线
与
相交于
点,将
沿对角线
折起,使得平面
平面
(如图),则下列命题中正确的为
A.直线直线
,且直线
直线
B.直线平面
,且直线
平面
C.平面平面
,且平面
平面
D.平面平面
,且平面
平面
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【题目】已知函数部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式及
的单调递增区间;
(2)把函数图象上点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移
个单位,得到函数
的图象,求关于x的方程
在
上所有的实数根之和.
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【题目】如图所示,在四棱锥中,底面
是矩形,
平面
,AB 1,AP AD 2.
(1)求直线与平面
所成角的正弦值;
(2)若点M,N分别在AB,PC上,且平面
,试确定点M,N的位置.
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【题目】在平面直角坐标系中,经过点
且斜率为
的直线
与椭圆
有两个不同的交点
和
.
(1)求的取值范围;
(2)设椭圆与轴正半轴、
轴正半轴的交点分别为
,是否存在常数
,使得向量
与
共线?如果存在,求
值;如果不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数.
(1)判断函数的奇偶性,并说明理由;
(2)若对于任意的恒成立,求满足条件的实数m的最小值M .
(3)对于(2)中的M,正数a,b满足,证明:
.
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