Question

设椭圆的左，右焦点分别为F₁，F₂，离心率为，以F₁为圆心，|F₁F₂|为半径的圆与直线相切．
（I）求椭圆C的方程；
（II）直线y=x交椭圆C于A、B两点，D为椭圆上异于A、B的点，求△ABD面积的最大值．

Answer 1

解：（I）∵椭圆的离心率为，∴
∵以F₁为圆心，|F₁F₂|为半径的圆与直线相切
∴，∴c=1
∴a=，∴b²=a²-c²=1
∴椭圆C的方程为；
（II）直线y=x代入椭圆方程可得=1，∴x=±，∴|AB|=
设椭圆上点的坐标为D（cosα，sinα），则该点D到直线的距离为=≤
∴△ABD面积的最大值为．
分析：（I）根据椭圆的离心率为，以F₁为圆心，|F₁F₂|为半径的圆与直线相切，即可确定几何量的值，从而可得椭圆C的方程；
（II）直线y=x代入椭圆方程，可求|AB|的长，求出点D到直线的距离的最大值，即可求得△ABD面积的最大值．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，解题的关键是求出点到直线距离的最大值，属于中档题．