Question

4．已知函数f（x）=|2x-3|，若0＜2a≤b+1，且f（2a）=f（b+3），则M=3a²+2b+1的取值范围为$\frac{3}{16}$≤M＜1．

Answer 1

分析 由题意可得|4a-3|=|2b+3|，故4a-3和2b+3互为相反数，解得b=-2a，代入要求的式子可得 M=3a²+2b+1=3a²-4a+1（0＜a≤$\frac{1}{4}$），结合二次函数的图象和性质，可得M=3a²+2b+1的取值范围

解答 解：∵f（x）=|2x-3|，f（2a）=f（b+3），也就是|4a-3|=|2b+3|．
因为 0＜2a＜b+1，所以4a＜2b+2，4a-3＜2b+3，所以必须有4a-3和2b+3互为相反数．
∴4a-3+2b+3=0，故 b=-2a．
再由0＜2a≤b+1可得 0＜2a≤-2a+1，即 0＜a≤$\frac{1}{4}$．
∴M=3a²+2b+1=3a²-4a+1的图象是开口朝上，且以直线a=$\frac{2}{3}$为对称轴的抛物线，
此函数在（0，$\frac{1}{4}$]上是减函数，
所以M（$\frac{1}{4}$）≤T＜T（0），
即$\frac{3}{16}$≤M＜1，
故答案为：$\frac{3}{16}$≤M＜1．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，利用二次函数的单调性求它在某区间上的值域，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．