Question

10．椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1的斜率为$\frac{1}{2}$的弦AB的中垂线交x轴于P，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 通过设点T的坐标可知直线AB的方程，联立直线AB与椭圆方程利用韦达定理、两点间距离公式及中点坐标公式可知相等AB的长度及点Q的坐标，进而可得弦AB的中垂线方程，从而可知点P坐标，利用三角形面积公式计算即得结论．

解答 解：依题意，设T（0，t），则直线AB方程为：x-2y+2t=0，
联立直线AB与椭圆方程，消去x整理得：3y²-4ty+2t²-1=0，
由韦达定理可知：y₁+y₂=$\frac{4}{3}$t，y₁y₂=$\frac{2{t}^{2}-1}{3}$，
∴x₁+x₂=2（y₁+y₂）-4t=$\frac{8}{3}$t-4t=-$\frac{4}{3}$t，
则|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{5}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{5}$•$\sqrt{\frac{16{t}^{2}}{9}-\frac{8{t}^{2}-4}{3}}$
=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$•$\sqrt{3-2{t}^{2}}$，
由中点坐标公式可知点Q（$\frac{4}{3}$-2t，$\frac{2}{3}$t），
故弦AB的中垂线方程为：2x+y+$\frac{10}{3}$t-$\frac{8}{3}$=0，
∴点P坐标为P（$\frac{4}{3}$-$\frac{5}{3}$t，0），
∴|PQ|=$\sqrt{[（\frac{4}{3}-\frac{5}{3}t）-（\frac{4}{3}-2t）]^{2}+（0-\frac{2}{3}t）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$|t|，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$•|PQ|•|AB|
=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{5}}{3}$|t|•$\frac{2\sqrt{5}}{3}$•$\sqrt{3-2{t}^{2}}$
=$\frac{5}{9}$•$\sqrt{-2（{t}^{2}-\frac{3}{4}）^{2}+\frac{9}{8}}$，
∴当t²=$\frac{3}{4}$时，S_△PAB取最大值$\frac{5}{9}$•$\sqrt{\frac{9}{8}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{12}$，
∴△PAB面积的最大值为$\frac{5\sqrt{2}}{12}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．