Question

一个平面用n条直线去划分，最多能被分成几块?此问题可以推广到空间吗?若能，试解答此空间的问题．

Answer 1

答案：略
解析：

解：方法一：(归纳法)当这些直线互不平行且没有两条以上的直线交于同一点时，才能使分成的块数最多． 当n=1，2，3，4，5时，平面被分成的块数分别是：，，，，，如果只是从这5个数字来寻找规律，是比较困难的．可以从一条直线划分平面开始，逐条增加，寻求块数的增加规律，如下图所示． 平面块数：2＋1＋l=2＋2　　4＋1＋2=4＋3 7＋2＋2=7＋4　　11＋3＋2=11＋5 每增加一条直线l，l都要与前面的n－1条直线相交，增加的平面块数是n块，即(n－1)＋1=n．其中有一个常数2，即增加的平面的块数可以看作是与n－2条直线是一致的，与另一条直线相交时增加2块．尝试在上面的块数中分出一个常数2以及块数中找到总的直线的条数n，则： 2=1＋2＋(－1)，2＋2=2＋2，4＋3=2＋3＋2，7＋4=4＋5＋2，11＋5=9＋5＋2，而2要写成三个数相加的形式，则还缺数值，显然加上一个数不好寻找，可以尝试增加倍数，例如乘以2，可得： ，，，，，括号内的数值分别是l，4，9，16，25，恰好为完全平方数，所以可以猜想：． 方法二：设n－1条直线把平面分成块，现在我们再添加第n条直线，它与前面n－1条直线都相交，增加的平面块数恰好为n块． 所以当n=1，2，…，n时，即， ，． 　　……　　　…… ，． 所以，即， 所以． 因此一个平面用n条直线去划分，最多被分成块． 类比平面几何中的问题，可以得到空间的平面划分空间的块数的问题： 一个空间用n个平面去划分，最多能被分成几部分? 显然，在空间中，当且仅当以下情况时，产生的空间块数最多：(1)三个或三个以上的平面产生的交线互不平行；(2)四个以上平面不能交于一点． 考虑增加一个平面，可以把空间划分的块数所增加的数．由于第n个平面与前n－1个平面都相交，则在第n个平面上就有n－1条交线，那么第n个平面被这n－1条交线分成的平面块数是，而每个平面块把它所在的那个空间块一分为二，于是增加了个空间块，所以空间被n个平面划分成的块数与空间被n－1个平面划分成的块数的关系是：． 令n=1，2，…，n，则： 即：． 即：． 即：． 　　……　　　　　　　　…… 即：． 把以上n个等式相加得： 故一个空间用n个平面去划分，最多能被分成个空间块．