Question

【题目】已知在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 （t为参数），在极坐标系（以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），曲线C1、C2交于A、B两点．
（Ⅰ）若p=2且定点P（0，﹣4），求|PA|+|PB|的值；
（Ⅱ）若|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，求p的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵曲线C2的方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即为ρ2sin2θ=2pρcosθ（p＞0），

∴曲线C2的直角坐标方程为y2=2px，p＞2．

又已知p=2，∴曲线C2的直角坐标方程为y2=4x．

将曲线C1的参数方程 （t为参数）与y2=4x联立得： t+32=0，

由于△= ﹣4×32＞0，

设方程两根为t1，t2，

∴t1+t2=12 ，t1t2=32，

∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=12 ．

（Ⅱ）将曲线C1的参数方程 （t为参数）与y2=2px联立得：t2﹣2 （4+p）t+32=0，

由于△= ﹣4×32=8（p2+8p）＞0，

∴t1+t2=2 （4+p），t1t2=32，

又|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，

∴|AB|2=|PA||PB，

∴ =|t1||t2|，

∴ =5t1t2，

∴ =5×32，

∴p2+8p﹣4=0，解得：p=﹣4 ，

又p＞0，

∴p=﹣4+2 ，

∴当|PA|，|AB|，|PB|成等比数列时，p的值为﹣4+2

【解析】（Ⅰ）曲线C2的方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即为ρ2sin2θ=2pρcosθ（p＞0），利用互化公式可得直角坐标方程．将曲线C1的参数方程 （t为参数）与抛物线方程联立得： t+32=0，可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|．（Ⅱ）将曲线C1的参数方程与y2=2px联立得：t2﹣2 （4+p）t+32=0，又|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，可得|AB|2=|PA||PB|，可得 =|t1||t2|，即 =5t1t2，利用根与系数的关系即可得出．