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如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°AB=PA=2,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,F是AB的中点.
(1)求证:BE平面PDF;
(2)求证:平面PDF⊥平面PAB;
(3)求BE与平面PAC所成的角.
(1)证明:取PD的中点为M,连接ME,MF,
∵E是PC的中点,∴ME是△PCD的中位线.
∴MECD,ME=
1
2
CD.
又∵F是AB的中点,且由于ABCD是菱形,
∴ABCD,AB=CD,∴MEFB,且ME=FB.
∴四边形MEBF是平行四边形,∴BEMF.
∵BE?平面PDF,MF?平面PDF,
∴BE平面PDF.
(2)证明:∵PA⊥平面ABCD,DF?平面ABCD,
∴DF⊥PA.连接BD,
∵底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,∴△DAB为正三角形.
∵F是AB的中点,∴DF⊥AB.
∵PA∩AB=A,∴DF⊥平面PAB.
∵DF?平面PDF,∴平面PDF⊥平面PAB.
(3)连结BD交AC于O,∵底面ABCD是菱形,∴AC⊥BD,
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD,∴BD⊥平面PAC.
∴OB⊥OE,即OE是BE在平面PAC上的射影.
∴∠BEO是BE与平面PAC所成的角.
∵O,E,分别是中点,∴OE=
1
2
AP=1,OD=
1
2
BD
=
1
2
AB
=1,
∴Rt△BOE为等腰直角三角形,∴∠BEO=45°,
即BE与平面PAC所成的角的大小为45°.
练习册系列答案
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如图,在四棱锥V-ABCD中底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD
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(2)求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值.

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2
BB1
.求证:
(1)平面A1EC平面AB1D;
(2)平面A1BC1⊥平面AB1D.

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(1)A1F平面ADE;
(2)平面ADE⊥平面BCC1B1

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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,点D为AB的中点.
(1)求证:AC1平面CDB1
(2)求证:平面CDB1⊥平面ABB1A1

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在空间直角坐标系Oxyz中,点P(-2,0,3)位于(  )
A.xoz平面内B.yoz平面内C.y轴上D.z轴上

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