Question

【题目】已知圆，定点，为圆上任意一点,线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程;

（2）若过定点的直线交曲线于不同的两点，（点在点，之间），且满足，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）由点在线段的垂直平分线上，得到，根据椭圆的定义，即可求得曲线的方程；

（2）当直线斜率不存在时，求得；当直线斜率存在时，设直线方程为，代入椭圆方程，利用根与系数的关系，以及向量的运算，即可求解.

（1）由题意，点在线段的垂直平分线上，则有，

可得，

由椭圆的定义，可得点的轨迹为以，为焦点的椭圆，

且椭圆长轴长为，焦距为，所以，，

又由，所以曲线的方程为.

（2）当直线斜率不存在时，方程为，由，得；

当直线斜率存在时，设直线方程为，

代入椭圆方程，整理得，

由已知得，解得，

设，，则，，

又由，得，即，

所以，

由，得，解得，

又由，得.

综上，的取值范围是.