Question

已知函数 f(x)=alnx-(a+1)x+

1

2

x2(a≥0)．
（Ⅰ）若直线l与曲线y=f（x）相切，切点是P（2，0），求直线l的方程；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

（I）因为切点是P（2，0），
∴f(2)=aln2-2(a+1)+

1

2

×22=0，∴a=0，
∴函数f（x）=

1

2

x2-x，又f′（x）=x-1，
所以切线的斜率为：f′（2）=1．
所以切线l的方程为y=x-2．
函数 f(x)=alnx-(a+1)x+

1

2

x2(a≥0)．
（II）由题意得，f′（x）=

a

x

-（1+a）+x=

(x-1)(x-a)

x

（x＞0）
由f′（x）=0，得x₁=1，x₂=a
①当0＜a＜1时，令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜a或x＞1；
令f′（x）＜0，x＞0，可得a＜x＜1，
∴函数f（x）的单调增区间是（0，a）和（1，+∞），单调减区间是（a，1）；
②当a=1时，f′（x）=

(x-1)2

x

≥0，当且仅当x=1时，f′（x）=0，
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；
③当a＞1时，令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜1或x＞a；
令f′（x）＜0，x＞0，可得1＜x＜a
∴函数f（x）的单调增区间是（0，1）和（a，+∞），单调减区间是（1，a）．