Question

求下列函数解析式：
（1）已知f（1+

1

x

）=

3

x

+

x2+1

x2

，求函数f（x）的解析式；
（2）已知f（x+1）+2f（3-x）=x+

1

x

，求函数f（x）的解析式；
（3）已知f（x）是二次函数，且f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x+4，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）利用配凑法可求f（x）解析式；
（2）f（x+1）+2f（3-x）=x+

1

x

①，将x换成2-x，则得f（3-x）+2f（1+x）=2-x+

1

2-x

②，由①②可求f（1+x），再用换元法可求f（x）；
（3）利用待定系数法；

解答： 解：（1）f（1+

1

x

）=

3

x

+

x2+1

x2

=(

1

x

+1)2+

1

x

+1-1，
∴f（x）=x²+x-1（x≠1）；
（2）f（x+1）+2f（3-x）=x+

1

x

①，
将x换成2-x，则得f（3-x）+2f（1+x）=2-x+

1

2-x

②，
②×2-①得，3f（1+x）=4-3x+

2

2-x

-

1

x

，
∴f（1+x）=

4

3

-x+

2

3(2-x)

-

1

3x

，
令t=1+x，得x=t-1，
则f（t）=

4

3

-（t-1）+

2

3(3-t)

-

1

3(t-1)

=

7

3

-t+

2

3(3-t)

-

1

3(t-1)

，
∴f（x）=

7

3

-x+

2

9-3x

-

1

3x-3

（x≠1且x≠3）；
（3）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
由f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x+4，得a（x+1）²+b（x+1）+c+a（x-1）²+b（x-1）+c=2x²-4x+4，
∴2ax²+2bx+2a+2c=2x²-4x+4，
∴

2a=2 2b=-4 2a+2c=4

，解得

a=1 b=-2 c=1

，
∴f（x）=x²-2x+1．

点评：该题考查函数解析式的求解，属基础题，熟记常见解析式的求法是解题关键．