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精英家教网已知O为坐标原点,F为椭圆C:x2+
y2
2
=1
在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为-
2
的直线l与C交于A、B两点,点P满足
OA
+
OB
+
OP
=
0

(Ⅰ)证明:点P在C上;
(Ⅱ)设点P关于点O的对称点为Q,证明:A、P、B、Q四点在同一圆上.
分析:(1)要证明点P在C上,即证明P点的坐标满足椭圆C的方程x2+
y2
2
=1
,根据已知中过F且斜率为-
2
的直线l与C交于A、B两点,点P满足
OA
+
OB
+
OP
=
0
,我们求出点P的坐标,代入验证即可.
(2)若A、P、B、Q四点在同一圆上,则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程,然后将第四点坐标代入验证即可.
解答:证明:(Ⅰ)设A(x1,y1),B(x2,y2
椭圆C:x2+
y2
2
=1
  ①,则直线AB的方程为:y=-
2
x+1  ②
联立方程可得4x2-2
2
x-1=0,
则x1+x2=
2
2
,x1×x2=-
1
4

则y1+y2=-
2
(x1+x2)+2=1
设P(p1,p2),
则有:
0A
=(x1,y1),
0B
=(x2,y2),
0P
=(p1,p2);
0A
+
0B
=(x1+x2,y1+y2)=(
2
2
,1);
0P
=(p1,p2)=-(
0A
+
0B
)=(-
2
2
,-1)
∴p的坐标为(-
2
2
,-1)代入①方程成立,所以点P在C上.

(Ⅱ)设点P关于点O的对称点为Q,证明:A、P、B、Q四点在同一圆上.
设线段AB的中点坐标为(
x1+x2
2
y1y2
2
),即(
2
4
1
2
),
则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为:y-
1
2
=
2
2
(x-
2
4
),即y=
2
2
x+
1
4
;③
∵P关于点O的对称点为Q,故0(0.0)为线段PQ的中点,
则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为:y=-
2
2
x④;
③④联立方程组,解之得:x=-
2
8
,y=
1
8

③④的交点就是圆心O1(-
2
8
1
8
),
r2=|O1P|2=(-
2
2
-(-
2
8
))2+(-1-
1
8
2=
3
11
8

故过P Q两点圆的方程为:(x+
2
8
2+(y-
1
8
2=
3
11
8
…⑤,
把y=-
2
x+1 …②代入⑤,
有x1+x2=
2
2
,y1+y2=1
∴A,B也是在圆⑤上的.
∴A、P、B、Q四点在同一圆上.
点评:本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系,向量在几何中的应用,其中判断点与曲线关系时,所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键.
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