Question

对于函数①f(x)=4x+

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x

-5，②f(x)=|log2x|-(

1

2

)x，③f（x）=cos（x+2）-cosx，
判断如下两个命题的真假：命题甲：f（x）在区间（1，2）上是增函数；命题乙：f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x₁，x₂，且x₁x₂＜1．能使命题甲、乙均为真的函数的序号是

 

．

Answer 1

分析：分别分析①②③中三个函数的性质，求出它们的单调区间，以及他们在区间（0，+∞）上零点的个数，和题目中的两个条件进行比照，即可得到答案．

解答：解：当函数f(x)=4x+

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x

-5，在区间（0，

1

2

）上单调递减，在区间（

1

2

，+∞）上单调递增，故命题甲：f（x）在区间（1，2）上是增函数为真命题；
当x=

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2

时函数取极小值-1＜0，故命题乙：f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x₁，x₂，且x₁x₂=

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4

＜1．故①满足条件；
当在区间（1，2）上函数的解析式可化为f(x)=log2x-(

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2

)x，根据“增-减=增”，可得f（x）在区间（1，2）上是增函数；
由函数y=|log₂x|与函数y=

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2

x的图象可得在区间（0，+∞）上恰有两个零点x₁，x₂，且x₁x₂＜1，故②满足条件；
由余弦函数的周期性，查得函数f（x）=cos（x+2）-cosx，在区间（0，+∞）上有无限多个零点，故③不满足条件
故答案为：①②

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，函数单调性的判断与证明，函数的零点，其中熟练掌握基本初等函数的性质，掌握函数性质的研究方法是解答本题的关键．