Question

已知命题P：方程a²x²+ax-2=0在[-1，1]上有解，命题Q：不等式x+|x-2a|＞1的解集为R，如果P，Q中有且仅有一个正确，求a的取值范围．

Answer 1

分析：首先解出两个命题成立时对应的a的范围，再依据P，Q中有且仅有一个正确正确的条件，解出符合条件的a的范围．

解答：解：对于命题P：a²x²+ax-2=0可变为（ax+2）×（ax-1）=0，当a=0时方程无意义，故a不为0，由此可解得方程的根为x=-

2

a

或x=

1

a

当-

2

a

∈[-1，1]时，必有

1

a

∈[-1，1]，故只需

1

a

∈[-1，1]成立即可，解得a≥1或a≤-1
对于命题Q：不等式x+|x-2a|＞1可以变为|x-2a|＞1-x，考察不等式两边表达式对应的函数图象，如图只需2a＞1，即a＞

1

2

∵P，Q中有且仅有一个正确
若P真Q假则可得a≤-1
若P假Q真，则可得

1

2

＜a＜1
综上，当a≤-1或

1

2

＜a＜1时P，Q中有且仅有一个正确
答：a≤-1或

1

2

＜a＜1

点评：本题考点是命题真假性的判断，此类题考试方式经常与不等式或者方程有解等知识一起出现，其特征是大的判断是命题的真假性与命题的关系，细节上是解方程等．