Question

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cos2B=4cosB-3
（Ⅰ）求角B的大小
（Ⅱ）若S_△ABC=$\sqrt{3}$，asinA+csinC=5sinB，求边b．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据二倍角公式求出cosB的值，即可得出角B的大小；
（Ⅱ）由三角形面积公式以及正弦、余弦定理，即可求出边b的大小．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，2cos2B=4cosB-3，
∴2（2cos²B-1）=4cosB-3，
即4cos²B-4cosB+1=0，
解得cosB=$\frac{1}{2}$；
又B∈[0，π]，
∴B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由面积公式得S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$acsin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
解得ac=4，
又asinA+csinC=5sinB，
∴a²+c²=5b，
由余弦定理得，
b²=a²+c²-2accosB=5b-2×4×$\frac{1}{2}$=5b-4，
∴b²-5b+4=0，
解得b=1或b=4；
又a²+c²=5b≥2ac=8，
∴b≥$\frac{8}{5}$，
故b=4．

点评 本题考查了三角恒等变换以及正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．