Question

（2012•南充三模）（1）已知数列{a_n}为等比数列，公比为q，S_n为前n项和，试推导公式S_n=

na1(q=1) a1(1-qn) 1-q (q≠1)

；
（2）已知数列{a_n}的前n项和S_n．满足：S_n=n²-n（n∈N^*），又数列{b_n}满足：a_n+log₃n=log₃b_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由于S_n=a₁+a₁q+a1q2+…+a1qn-1 ①，故当q=1时，S_n=n a₁．当q≠1时，qS_n=a₁q+a1q2+…a1qn-1+a1qn ②，两式相减求得S_n的解析式．
（2）根据 a_n 与 S_n 的关系求出 a_n，再由a_n+log₃n=log₃b_n，及对对数的运算性质求出b_n=n3^2（n-1）．用错位相减法求出数列{b_n}的前n项和T_n ．

解答：（1）解：已知数列{a_n}为等比数列，公比为q，S_n为前n项和，故S_n=a₁+a₁q+a1q2+…+a1qn-1 ①．
当q=1时，S_n=n a₁．
当q≠1时，qS_n=a₁q+a1q2+…a1qn-1+a1qn ②．
①-②可得 （1-q）S_n=a₁-a1qn=a₁（1-qⁿ），
∴S_n=

a1(1-qn)

1-q

 （q≠1）．
综上可得

na1(q=1) a1(1-qn) 1-q (q≠1)

．
（2）解：S_n=n²-n（n∈N^*），
∴a₁=s₁=0，n≥2时，a_n=S_n-s_n-1=2（n-1）．
综上可得 a_n=2（n-1）．
又数列{b_n}满足：a_n+log₃n=log₃b_n，∴log₃b_n -log₃n=a_n=2（n-1），
∴

bn

n

=3^2（n-1），b_n=n×3^2（n-1）．
故数列{b_n}的前n项和T_n =1×3⁰+2×3²+3×3⁴+…+n3^2（n-1），
故9T_n =1×3²+2×3⁴+3×3⁶+…+（n-1）3^2（n-1）+n 3²ⁿ，
相减可得-8 T_n =1+3²+3⁴+…+3^2（n-1）-n 3²ⁿ=

32n-1

8

-n 3²ⁿ，
∴T_n =

(8n-1)32n+1

64

．

点评：本题主要考查对数的运算性质的应用，等比数列的通项公式，用错位相减法进行数列求和，属于中档题．