Question

7．已知f（x）的定义域为R，且满足2f（x）+f（-x）=$\frac{1}{3}$x³-x
（1）求f（x）及f（x）的单调区间；
（2）设b＞a＞0，且A（a，f（a）），B（b，f（b））　（a＜b）两点连线的斜率为k，问是否存在常数c∈（a，b），有f′（x）=k，若存在求出常数c，不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）将x=-x代入函数的表达式得到方程组解出f（x）得到其表达式，通过求导得到函数的单调区间；
（2）根据k=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$=$\frac{1}{3}$（b²+ab+a²）-1，得到c=$\sqrt{\frac{1}{3}{（b}^{2}+ab+{a}^{2}）}$，通过不等式的放缩，得到答案．

解答 解：（1）∵2f（x）+f（-x）=$\frac{1}{3}$x³-x
∴$\left\{\begin{array}{l}{2f（x）+f（-x）={\frac{1}{3}x}^{3}-x}\\{2f（-x）+f（x）=-{\frac{1}{3}x}^{3}+x}\end{array}\right.$，
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x，
∴f′（x）=x²-1，
令f′（x）=0，解得：x=±1，
∴f（x）的递增区间是（-∞，-1）和（1，+∞），递减区间是（-1，1）；

（2）k=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$=$\frac{1}{3}$（b²+ab+a²）-1，
f′（x）=x²-1=k，x=±$\sqrt{\frac{1}{3}{（b}^{2}+ab+{a}^{2}）}$
取c=$\sqrt{\frac{1}{3}{（b}^{2}+ab+{a}^{2}）}$
又b＞a＞0，∴c=$\sqrt{\frac{1}{3}{（b}^{2}+ab+{a}^{2}）}$＜$\sqrt{\frac{1}{3}{（b}^{2}{+b}^{2}{+b}^{2}）}$=b，

∴c=$\sqrt{\frac{1}{3}{（b}^{2}+ab+{a}^{2}）}$＞$\sqrt{\frac{1}{3}{（a}^{2}{+a}^{2}{+a}^{2}）}$=a

故存在常数c=$\sqrt{\frac{1}{3}{（b}^{2}+ab+{a}^{2}）}$．

点评 本题考查了求函数的表达式、单调性问题，考查了导数的应用，考查直线的斜率问题，不等式问题，是一道中档题．