Question

19．设函数f（x）=e^x-3e^-x-ax．
（1）当a=4时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在[-2，2]上为单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=4代入，求出函数的导数，通过解导函数的不等式，从而求出函数的递增区间；
（2）问题转化为a≤（e^x+$\frac{3}{{e}^{x}}$）_min或a≥${{（e}^{x}+\frac{3}{{e}^{x}}）}_{max}$=e^-2+3e²，（x∈[-2，2]），分别求出其最大值，最小值，从而解出a的范围．

解答 解：∵f（x）=e^x-3e^-x-ax，
∴f′（x）=e^x+3e^-x-a，
（1）当a=4时，f′（x）=$\frac{{e}^{2x}-{4e}^{x}+3}{{e}^{x}}$=$\frac{{（e}^{x}-1）{（e}^{x}-3）}{{e}^{x}}$，
由f′（x）≥0，解得：x≥ln3或x≤0，
由f′（x）≤0，解得：0≤x≤ln3，
∴函数f（x）在（-∞，0]和[ln3，+∞）递增，在[0，ln3]递减；
（2）∵函数f（x）在[-2，2]上是单调函数，
∴f′（x）在[-2，2]上不变号，
即a≤（e^x+$\frac{3}{{e}^{x}}$）_min，（x∈[-2，2]），求得a≤2$\sqrt{3}$，
或a≥${{（e}^{x}+\frac{3}{{e}^{x}}）}_{max}$=e^-2+3e²，（x∈[-2，2]），
∴实数a的取值范围是a≤2$\sqrt{3}$或a≥e^-2+3e²．

点评 本题考查了导数的应用，求函数的单调性问题，考查转化思想，是一道中档题．