Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，直线l过点A（4，0），B（0，2），且与椭圆C相切于点P．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点A（4，0）的直线m与椭圆C相交于不同的两点M、N，使得36|AP|²=35|AM|•|AN|？若存在，试求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由题得过两点A（4，0），B（0，2），直线l的方程为x+2y-4=0．…（1分）
因为

c

a

=

1

2

，所以a=2c，b=

3

c．
设椭圆方程为

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，
由

x+2y-4=0 x2 4c2 + y2 3c2 =1

，消去x得，4y²-12y+12-3c²=0．
又因为直线l与椭圆C相切，所以△=12²-4×4（12-3c²）=0，解得c²=1．
所以椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（Ⅱ）∵直线m的斜率存在，∴设直线m的方程为y=k（x-4），…（6分）
由

y=k(x-4) x2 4 + y2 3 =1

，消去y，
整理得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0．…（7分）
由题意知△=（32k²）²-4（3+4k²）（64k²-12）＞0，
解得-

1

2

＜k＜

1

2

．…（8分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x1+x2=

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

．…（9分）
又直线l：x+2y-4=0与椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1相切，
由

x+2y-4=0 x2 4 + y2 3 =1

，
解得x=1，y=

3

2

，所以P（1，

3

2

）．…（10分）
则|AP|2=

45

4

．所以|AM|•|AN|=

36

35

×

45

4

=

81

7

．
又|AM|•|AN=

(4-x1)2+y12

•

(4-x2)2+y22

=

(4-x1)2+k2(4-x1)2

•

(4-x2)2+k2(4-x2)2

=（k²+1）（4-x₁）（4-x₂）
=(k2+1)[x1x2 -4(x1+x2)+16  ]
=（k²+1）（

64k2-12

3+4k2

-4×

32k2

3+4k2

+16）
=（k²+1）•

36

3+4k2

．
所以（k²+1）•

36

3+4k2

=

81

7

，解得k=±

2

4

．经检验成立．…（13分）
所以直线m的方程为y=±

2

4

(x-4)．…（14分）