Question

记b_n=3ⁿ，前n项和为T_n，对于任意n属于N^*，（T_n+

3

2

）k≥3n-6恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：等比数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：由数列{b_n}的通项公式可得数列是以3为首项，以3为公比的等比数列，求出其前n项和后代入（T_n+

3

2

）k≥3n-6，分离k后求出函数f（n）=

2n-4

3n

的最大值得答案．

解答： 解：由b_n=3ⁿ，可得bn+1=3n+1，
∴

bn+1

bn

=

3n+1

3n

=3．
∴数列{b_n}是以3为首项，以3为公比的等比数列，
则Tn=

3(1-3n)

1-3

=

3

2

(3n-1)．
∴（T_n+

3

2

）k≥3n-6恒成立等价于

3n+1

2

k≥3n-6对于任意n属于N^*恒成立，
即k≥

2n-4

3n

于任意n属于N^*恒成立，
当n=1时，

2n-4

3n

=-

2

3

；
当n=2时，

2n-4

3n

=0；
当n=3时，

2n-4

3n

=

2

27

；
当n≥3时，函数f（n）=

2n-4

3n

单调递减，
∴k≥

2

27

．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了等比数列的前n项和，考查了数列的函数特性，是中档题．