Question

【题目】已知点P（x，y）在圆x2+y2﹣6x﹣6y+14=0上
（1）求 的最大值和最小值；
（2）求x2+y2+2x+3的最大值与最小值；
（3）求x+y的最大值与最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图示：

，

圆x2+y2﹣6x﹣6y+14=0即为（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，

可得圆心为C（3，3），半径为r=2，

设k= ，即kx﹣y=0，

则圆心到直线的距离d≤r，

即 ≤2，

平方得5k2﹣18k+5≤0，

解得： ≤k≤ ，

故 的最大值是 ，最小值为

（2）解：x2+y2+2x+3=（x+1）2+y2+2

表示点（x，y）与A（﹣1，0）的距离的平方加上2，

连接AC，交圆C于B，延长AC，交圆于D，

可得AB为最短，且为|AC|﹣r= ﹣2=3，

AD为最长，且为|AC|+r=5+2=7，

则x2+y2+2x+3 的最大值为72+2=51，

x2+y2+2x+3的最小值为32+2=11

（3）解：圆x2+y2﹣6x﹣6y+14=0即为（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，

令x﹣3=2cosa，y﹣3=2sina，

则x+y=6+2（cosa+sina）=6+2 sin（a+ ），

∵﹣1≤sin（a+ ）≤1，

∴6﹣2 ≤6+2 sin（a+ ）≤6+2 ，

∴x+y的最大值为6+2 ，最小值为6﹣2

【解析】（1）求得已知圆的圆心和半径，设k= ，即kx﹣y=0，则圆心到直线的距离d≤r，加上即可得到最值；（2）x2+y2+2x+3=（x+1）2+y2+2表示点（x，y）与A（﹣1，0）的距离的平方加上2，连接AC，交圆C于B，延长AC，交圆于D，可得AB最短，AD最长，加上即可得到所求最值；（3）化简可得（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，从而令x﹣3=2cosa，y﹣3=2sina，从而利用三角函数求最值．