Question

【题目】已知函数f（x）=（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣2a（x∈R）．
（1）若a=﹣1，求方程f（x）=1的解集；
（2）若 ，试判断函数y=f（x）在R上的零点个数，并求此时y=f（x）所有零点之和的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：方法一：

当a=﹣1时，

由f（x）=1得 或

解得 x=0，1，﹣2，即解集为{0，1，﹣2}．

方法二：当a=﹣1时，由f（x）=1得：（x﹣1）|x+1|﹣（x﹣1）=0（x﹣1）（|x+1|﹣1）=0

∴得x=1或|x+1|=1∴x=1或x=0或x=﹣2

即解集为{0，1，﹣2}．

（2）解：

当x≥a时，令x2﹣（a+2）x﹣a=0，∵ ，

∴△=a2+8a+4=（a+4）2﹣12＞0

得 ，

且

先判断2﹣a，与 大小：

∵ ，即a＜x1＜x2，故当x≥a时，f（x）存在两个零点．

当x＜a时，令﹣x2+ax﹣3a=0，即x2﹣ax+3a=0得∵ ，

∴△=a2﹣12a=（a﹣6）2﹣36＞0

得 ，

同上可判断x3＜a＜x4，故x＜a时，f（x）存在一个零点．

综上可知当 时，f（x）存在三个不同零点．

且

设 ，易知g（a）在 上单调递增，

故g（a）∈（0，2）∴x1+x2+x3∈（0，2）

【解析】（1）方法一：化简分段函数，分段求解方程的根即可，方法二：当a=﹣1时，利用f（x）=1化简求解即可．（2）化简分段函数，通过当x≥a时，当x＜a时，求出函数的零点，推出 ，构造函数，利用函数的单调性，求解即可．