Question

【题目】已知函数．

（1）当a为何值时，x轴为曲线的切线；

（2）设函数，讨论在区间（0，1）上零点的个数．

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析

【解析】

（1）求得的导数，设切点为，可得，解方程可得所求值；（2）求的解析式和导数，讨论当时，当时，当时，结合函数的单调性和函数零点存在定理，即可得到所求零点个数．

（1）的导数为，

设切点为，可得，

即，

解得；

（2），

当时，，在（0，1）递增，可得

，，有一个零点；

当时，，在（0，1）递减，，

在（0，1）无零点；

当时，在（0，）递增，在（，1）递减，

可得在（0，1）的最大值为，

①若＜0，即，在（0，1）无零点；

②若=0，即，在（0，1）有一个零点；

③若＞0，即，

当时，在（0，1）有两个零点；

当时，在（0，1）有一个零点；

综上可得，a＜时，在（0，1）无零点；

当a=或a≥时，在（0，1）有一个零点；

当＜a＜时，在（0，1）有两个零点．