Question

13．已知f（x）是定义在R上的函数，对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且f（-1）=2
（1）求f（0），f（-2）的值；
（2）证明：函数f（x）在R上是奇函数．

Answer 1

分析 （1）将x=y=0代入已知等式确定出f（0）的值，把x=-1，y=-1代入已知等式化简，将f（-1）=2代入求出f（-2）的值即可；
（2）令y=-x，得到x+y=0，代入已知等式化简，根据f（0）=0，确定出f（x）的奇偶性即可．

解答 解：（1）令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），得f（0）=0，
∵f（-1）=2，
∴f（-2）=f（-1）+f（-1）=2f（-1）=4；
（2）令y=-x，即x+y=0，则f（x+y）=f（x）+f（y），即f（0）=f（x）+f（-x），
又∵f（0）=0，
∴f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=f（x），
∴函数f（x）在R上是奇函数．

点评 此题考查了抽象函数及其应用，以及函数奇偶性的性质，熟练掌握函数的性质是解本题的关键．