Question

8．已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．
（1）当DG=2时，求证：∠EHG=90°；
（2）在（1）的条件下，求△FCG的面积；
（3）设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理可知HG=$2\sqrt{5}$，通过Rt△AHE≌Rt△DGH，计算即得结论；
（2）通过作FM⊥DC，M为垂足，连结GE，利用Rt△DGH≌Rt△CFG，计算即得结论；
（3）通过两直线平行内错角相等可知∠AEH=∠MGF，利用△AHE≌△MFG可知点F到直线CD的距离为定值2，进而计算可得结论．

解答 （1）证明：∵在正方形ABCD中，AH=2，
∴DH=4，
又∵DG=2，
∴HG=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=$2\sqrt{5}$，
∴菱形EFGH的边长为$2\sqrt{5}$，
易知Rt△AHE≌Rt△DGH，
∴∠DGH+∠AHE=90°，
∴∠EHG=90°；
（2）解：作FM⊥DC，M为垂足，连结GE，
易知Rt△DGH≌Rt△CFG，从而CF=2，
∴S_△FCG=$\frac{1}{2}×4×2$=4；
（3）解：连结GE，
∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE，
∵HE∥GH，∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF，
在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，
∴△AHE≌△MFG，
∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离为定值2，
∴S_△FCG=$\frac{1}{2}$×2×（6-x）=6-x．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题的、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．