Question

已知x∈（0，π），且，求：
（1）sinx-cosx的值；
（2）sin2x+cos2x的值．

Answer 1

解：（1）∵sinx+cosx=，
∴（sinx+cosx）²=，
即1+2sinxcosx=，
∴2sinxcosx=-，
∴（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx=1+=，
又x∈（0，π），
∴sinx＞0，cosx＜0，
∴sinx-cosx＞0，
sinx-cosx=；
（2）∵sinx+cosx=，sinx-cosx=；
∴sinx=，cosx=，
∴cos2x=cos²x-sin²x=-=-，
∴sin2x+cos2x=--=-．
分析：（1）依题意可知＜x＜π，从而可求得sinx-cosx的值；
（2）可求得sinx，cosx的值后，利用二倍角公式可求得sin2x，cos2x的值，继而可得sin2x+cos2x的值．
点评：本题考查二倍角的余弦，考查同角三角函数间的基本关系，求得sinx，cosx的值是关键，属于中档题．