Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且，acosB+bcosA=1，
（I）求c；
（II）若tan（A+B）=-

3

．求

CA

•

CB

的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

表示出a与b，代入已知的等式中，利用二倍角的正弦函数公式化简，再根据三角形的内角和定理及诱导公式得到sin（A+B）=sinC，等量代换可得c的值；
（II）由tan（A+B）的值，根据A和B的范围求出A+B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A+B的度数，进而求出C的度数，利用余弦定理表示出c²，把c的值及cosC的值代入，利用基本不等式即可求出ab的最大值，又根据平面向量的数量积运算法则可求出所求式子等于ab的一半，进而求出所求式子的最大值．

解答：解：（I）由acosB+bcosA=1及正弦定理，得

csinA

sinC

•cosB+

csinB

sinC

•cosA=1，即csinAcosB+csinBcosA=sinC，
∴csin（A+B）=sinC，
又sin（A+B）=sin（π-C）=sinC≠0，
∴c=1；（4分）
（II）∵tan（A+B）=-

3

，A和B为三角形的内角，故0＜A+B＜π，
∴A+B=

2π

3

，
∴C=π-（A+B）=

π

3

，（5分）又c=1，且

CA

•

CB

=|

CA

||

CB

|cosC=

1

2

ab，
由余弦定理得，1²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab=2

CA

•

CB

，
∴

CA

•

CB

≤

1

2

，当且仅当a=b=1时取“=”号．
所以

CA

•

CB

的最大值是

1

2

．（10分）

点评：此题属于解直角三角形的题型，涉及的知识有正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，基本不等式，以及平面向量的数量积的数量积运算法则，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．