Question

14．已知函数f（x）定义域为R，若存在常数c＞0，对?x∈R都有f（x+c）＞f（x-c），则称f（x）具有性质P，给定三个函数①f（x）=|x|，②f（x）=sinx，③f（x）=x³-x．其中具有性质P的函数的序号是③．

Answer 1

分析 ①因为f（x）=|x|不是R上的增函数，不具有具有性质P；②因为f（x）=sinx的最小正周期为2π，不是在R上的增函数，不具有性质P；③求导数可得：函数在（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）内递减，要想满足f（x+c）＞f（x-c），只须c＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 就可说明具有性质P．

解答 解：①∵f（x）=|x|不是R上的增函数，
∴不满足f（x+c）＞f（x-c），
故此函数f（x）不具有具有性质P；
 ②∵f（x）=sinx的最小正周期为2π，不是在R上的增函数，
∴不满足f（x+c）＞f（x-c），
故此函数f（x）不具有性质P．
③∵f（x）=x³-x，
∴f′（x）=3x²-1，
当f′（x）＞0时，函数f（x）是增函数，f′（x）＜0时，函数f（x）是递减函数．
即在（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）内递减，
要想满足f（x+c）＞f（x-c），只须c＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$就可以了，
不妨取c=1，．
∴存在常数c=1，满足f（x+c）＞f（x-c）．
故此函数f（x）具有性质P．
故答案为：③．

点评 本题主要考查新定义，命题真假的判断，函数的周期性和单调性的应用，属于基础题．