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已知函数f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
,设Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+f(
3
n
)+…+f(
n-1
n
)
,n∈N*,且n≥2.
(1)求Sn
(2)已知a1=
2
3
an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
,(n≥2,n∈N*),数列{an}的前n项和为Tn,若Tn<λ(Sn+1+1)对一切n∈N*都成立,求λ的取值范围.
分析:(1)利用对数的运算性质可得f(x)+f(1-x)=1,当n≥2时,对Sn及其倒序和相加即可得出Sn
(2)当n≥2时,利用“裂项求和”即可得到Tn,由Tn<λ(Sn+1+1)对一切n∈N*都成立,分离参数,利用二次函数的性质或基本不等式的性质即可得出.
解答:解:(1)∵f(x)+f(1-x)=
1
2
+log2
x
1-x
+
1
2
+log2
1-x
x
=1.
∴f(x)+f(1-x)=1
又∵n≥2时,Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)

Sn=f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)+…+f(
1
n
)

①+②得2Sn=n-1,∴Sn=
n-1
2

(2)n≥2时,an=
1
(
n-1
2
+1)(
n
2
+1)
=
4
(n+1)(n+2)
=4(
1
n+1
-
1
n+2
)

当n=1时也满足.Tn=4(
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
n+1
-
1
n+2
)=4(
1
2
-
1
n+2
)=2-
4
n+2
(n∈N*)

由Tn<λ(Sn+1+1)得2-
4
n+2
<λ(
n
2
+1)
λ>
2
n+2
(2-
4
n+2
)⇒λ>
4
n+2
-
8
(n+2)2

(方法一)令t=
2
n+2
4
n+2
-
8
(n+2)2
=2t-2t2=-2(t-
1
2
)2+
1
2

又∵n∈N*∴0<t≤
2
3

t=
1
2
时,即n=2时,
4
n+2
-
8
(n+2)2
最大,最大值为
1
2

λ∈(
1
2
,+∞)

(方法二)λ>
4n
(n+2)2
=
4n
n2+4n+4
=
4
n+
4
n
+4

其中
4
n+
4
n
+4
4
2
4
+4
=
1
2
,∴λ∈(
1
2
,+∞)
点评:本题考查了对数的运算性质、倒序相加求和、“裂项求和”、分离参数法、二次函数的性质或基本不等式的性质等基础知识与基本方法,属于难题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(1)、已知函数f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函数f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的图象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一个函数g(x)的图象,求g(x)的解析式.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同时满足条件:
①?x0∈(0,+∞),x0为f(x)的一个极大值点;
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
则实数a的取值范围是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函数在区间(a,a+
1
2
)
上存在极值,求实数a的取值范围;
(2)当x≥1时,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求实数k的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
与f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

定义在D上的函数f(x)如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域,并判断f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数,请说明理由;
(2)若函数f(x)在[0,1]上是以3为上界的有界函数,求m的取值范围.

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