Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，AB//CD，，AB=AD=2CD=2，△ADP为等边三角形．

(1)当PB长为多少时，平面平面ABCD?并说明理由；

(2)若二面角大小为150°，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）当时，平面平面，详见解析（2）

【解析】

(1)根据平面和平面垂直可得线面垂直，从而可得,利用直角三角形知识可得的长；

(2)构建空间直角坐标系，利用法向量求解直线AB与平面PBC所成角的正弦值.

解：（1）当时，平面平面，

证明如下：在中，因为，所以，

又，，所以平面，

又平面，所以平面平面；

（2）分别取线段的中点，连接，因为为等边三角形，为的中点，所以，为的中点，所以,

又，所以，故为二面角的平面角，所以，

如图，分别以的方向以及垂直于平面向上的方向作为轴的正方向，建立空间直角坐标系，

因为，，所以，，，.

可得，，

设为平面的一个法向量，则有，

即，令，

可得，

设与平面所成角为，则有

所以直线与平面所成角的正弦值为.