【题目】已知函数,
.
(1)当时,若直线
是函数
的图象的切线,求
的最小值;
(2)设函数,若
在
上存在极值,求
的取值范围,并判断极值的正负.
【答案】(1);(2)当
时,
在
上存在极值,且极值都为正数.
【解析】
(1) 设切点坐标为,求得切线的方程,由直线
是函数
的图象的切线,得到
,
,求得
,利用导数即可求得
的最小值.
(2)求出
的导数
,令
,若
在
上存在极值,则
或
,分类讨论,分别构造新函数,根据导数与函数的关系,即可求得
的取值范围.
(1)设切点坐标为,
,
切线斜率,又
,
,
令,
,
解得
,解
得
,
在
上递减,在
上递增.
,
的最小值为
.
(2),
.
.
设,则
.
由,得
.
当时,
,当
时,
.
在
上单调递增,在
上单调递减.
且,
,
.
显然.
结合函数图象可知,若在
上存在极值,
则或
(ⅰ)当,即
时,
则必定,
,使得
,且
.
当变化时,
,
,
的变化情况如下表:
- | 0 | + | 0 | - | |
- | 0 | + | 0 | - | |
↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ |
∴当时,
在
上的极值为
,
,且
.
.
设,其中
,
.
,
在
上单调递增,
,当且仅当
时取等号.
,
.
∴当时,
在
上的极值
.
(ⅱ)当,即
时,
则必定,使得
.
易知在
上单调递增,在
上单调递减.
此时,在
上的极大值是
,且
.
∴当时,
在
上的极值为正数.
综上所述:当时,
在
上存在极值,且极值都为正数.
注:也可由,得
.令
后再研究
在
上的极值问题.若只求
的范围.
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【题目】设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=81,a3+a5=14.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,若{bn}的前n项和为Tn,证明:Tn<
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】关于函数有下述四个结论:
①是偶函数;②
的最大值为
;
③在
有
个零点;④
在区间
单调递增.
其中所有正确结论的编号是( )
A.①②B.①③C.②④D.①④
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】
在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(a为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为
.
(1)求C的普通方程和l的倾斜角;
(2)设点,l和C交于A,B两点,求
.
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【题目】某汽车美容公司为吸引顾客,推出优惠活动:对首次消费的顾客,按/次收费,并注册成为会员,对会员逐次消费给予相应优惠,标准如下:
消费次第 | 第 | 第 | 第 | 第 |
|
收费比率 |
该公司注册的会员中没有消费超过次的,从注册的会员中,随机抽取了100位进行统计,得到统计数据如下:
消费次数 |
|
|
|
|
|
人数 |
假设汽车美容一次,公司成本为元,根据所给数据,解答下列问题:
(1)某会员仅消费两次,求这两次消费中,公司获得的平均利润;
(2)以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,设该公司为一位会员服务的平均利润为元,求
的分布列和数学期望
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥中,底面ABCD为梯形,AB//CD,
,AB=AD=2CD=2,△ADP为等边三角形.
(1)当PB长为多少时,平面平面ABCD?并说明理由;
(2)若二面角大小为150°,求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
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