Question

【题目】已知函数，.

（1）当时，若直线是函数的图象的切线，求的最小值；

（2）设函数，若在上存在极值，求的取值范围，并判断极值的正负．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，在上存在极值，且极值都为正数．

【解析】

(1) 设切点坐标为,求得切线的方程,由直线是函数的图象的切线,得到,,求得,利用导数即可求得的最小值.

(2)求出的导数,令,若在上存在极值,则或，分类讨论,分别构造新函数,根据导数与函数的关系,即可求得的取值范围.

（1）设切点坐标为，

，

切线斜率，又，

，

令，

，

解得，解得，在上递减，在上递增.

，的最小值为.

（2），.

.

设，则.

由，得.

当时，，当时，.

在上单调递增，在上单调递减.

且，，.

显然.

结合函数图象可知，若在上存在极值，

则或

（ⅰ）当，即时，

则必定，，使得，且.

当变化时，，，的变化情况如下表：

	-	0	+	0	-
	-	0	+	0	-
	↘	极小值	↗	极大值	↘

∴当时，在上的极值为，，且.

.

设，其中，.

，在上单调递增，，当且仅当时取等号.

，.

∴当时，在上的极值.

（ⅱ）当，即时，

则必定，使得.

易知在上单调递增，在上单调递减.

此时，在上的极大值是，且.

∴当时，在上的极值为正数.

综上所述：当时，在上存在极值，且极值都为正数．

注：也可由，得．令后再研究在上的极值问题．若只求的范围.