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如图,三棱锥P-ABC中,PC⊥平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一点,且CD⊥平面PAB
(Ⅰ)求证:AB⊥平面PCB;
(Ⅱ)求二面角C-PA-B的大小的正弦值.
分析:(I)根据PC⊥平面ABC,可得PC⊥AB.根据CD⊥平面PAB,可得CD⊥AB,再利用线面垂直的判定定理可证AB⊥平面PCB.
(II)取AP的中点O,连接CO、DO,证∠COD为二面角的平面角,再求解.
解答:(I)证明:∵PC⊥平面ABC,AB?平面ABC,∴PC⊥AB.
∵CD⊥平面PAB,AB?平面PAB,∴CD⊥AB.                                       
又PC∩CD=C,∴AB⊥平面PCB. 
(II) 取AP的中点O,连接CO、DO,
∵PC=AC=2,∴CO⊥PA,且CO=
2

又∵CD⊥平面PAB,∴CD⊥PA,∵PA⊥平面CDO,∴DO⊥PA,
∴∠COD为二面角C-PA-B的平面角,
在Rt△ABC中,AB=BC,AC=2,∠ABC=
π
2
,∴BC=
2

在Rt△PBC中,PB=
6
,CD=
2
3
3

∵DO?平面PAB,∴CD⊥DO,
∴在Rt△COD中,sin∠COD=
CD
CO
=
6
3
点评:本题考查直线与平面垂直的判定,二面角的求法,考查空间想象能力,逻辑思维能力.
练习册系列答案
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(2006•石景山区一模)如图,三棱锥P-ABC中,
PA
AB
=
PA
AC
=
AB
AC
=0
PA
2
=
AC
2
=4
AB
2

(Ⅰ)求证:AB⊥平面PAC;
(Ⅱ)若M为线段PC上的点,设
|
PM|
|PC
|
,问λ为何值时能使直线PC⊥平面MAB;
(Ⅲ)求二面角C-PB-A的大小.

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2

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3
,∠PCA=30°.
(1)求证:AB⊥平面PAC. (2)设二面角A-PC-B•的大小为θ•,求tanθ•的值.

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