Question

5．设向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$满足|${\overrightarrow a}$|=|${\overrightarrow b}$|=1，$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=-$\frac{1}{2}$，＜$\overrightarrow a$-$\overrightarrow c$，$\overrightarrow b$-$\overrightarrow c$＞=60°，则|${\overrightarrow c}$|的最大值等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 1
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由已知利用向量的数量积求出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角，利用向量的运算法则作出图形，结合图形可知O，B，C，A四点共圆．通过正弦定理求出外接圆的直径，求出|$\overrightarrow{c}$|最大值．

解答 解：∵$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=1$，且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$-\frac{1}{2}$，∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为120°，
设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}，\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，
则$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}，\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$，如图所示，
则∠AOB=120°；∠ACB=60°
∴∠AOB+∠AOC=180°
∴A，O，B，C四点共圆，
∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$，
∴$|\overrightarrow{AB}{|}^{2}=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}$=3，
∴|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{3}$．
由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=$\frac{AB}{sin∠ACB}=2$，
当OC为直径时，|$\overrightarrow{c}$|最大，最大为2．
故选：C．

点评 本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理等知识，属中档题．