Question

12．已知a²ⁿ=$\sqrt{2}$+1，则$\frac{{a}^{3n}+{a}^{-3n}}{{a}^{n}+{a}^{-n}}$的值为$2\sqrt{2}-1$．

Answer 1

分析 利用立方差公式把$\frac{{a}^{3n}+{a}^{-3n}}{{a}^{n}+{a}^{-n}}$等价转化为a²ⁿ+a^-2n-1，由此能求出结果．

解答 解：∵a²ⁿ=$\sqrt{2}$+1，
∴$\frac{{a}^{3n}+{a}^{-3n}}{{a}^{n}+{a}^{-n}}$=$\frac{（{a}^{n}+{a}^{-n}）（{a}^{2n}+{a}^{-2n}-1）}{{a}^{n}+{a}^{-n}}$
=a²ⁿ+a^-2n-1
=$\sqrt{2}+1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}$-1
=$\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1-1$
=$2\sqrt{2}-1$．
故答案为：$2\sqrt{2}-1$．

点评 本题考查化数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分数指数幂的性质和运算法则的合理运用．