Question

20．已知O为坐标原点，对于函数f（x）=asinx+bcosx，称向量$\overrightarrow{OM}=（a，b）$为函数f（x）的亲密向量，同时称函数f（x）为向量$\overrightarrow{OM}$的亲密函数．
（1）设函数g（x）=cos（2π-x）+2sin（π-x），试求g（x）的亲密向量$\overrightarrow{OM}$的模；
（2）若$\overrightarrow a=（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，$\overrightarrow{ON}$与$\overrightarrow a$同向共线，|$\overrightarrow{ON}$|=2，记$\overrightarrow{ON}$的亲密函数为h（x），求使得关于x的方程h（x）-t=0在$[0，\frac{π}{2}]$内恒有两个不相等实数根的实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简函数g（x）的解析式，可得g（x）的亲密向量$\overrightarrow{OM}$，可得该向量的模．
（2）先由条件求得$\overrightarrow{ON}$=（1，$\sqrt{3}$），可得$\overrightarrow{ON}$的亲密函数为h（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）．由题意可得函数y=h（x）的图象和直线y=t在$[0，\frac{π}{2}]$内恒有两个不同的交点，数形结合可得实数t的取值范围．

解答 解：（1）∵函数g（x）=cos（2π-x）+2sin（π-x）
=cosx+2sinx，
∴g（x）的亲密向量为$\overrightarrow{OM}$=（1，2），
故g（x）的亲密向量$\overrightarrow{OM}$的模为 $\sqrt{{1}^{2}{+2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
（2）设$\overrightarrow{ON}$=λ•（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=（$\frac{λ}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ），
则|$\overrightarrow{ON}$|=$\sqrt{\frac{{λ}^{2}}{4}+\frac{3}{4}{•λ}^{2}}$=λ=2，
即$\overrightarrow{ON}$=（1，$\sqrt{3}$）．
故$\overrightarrow{ON}$的亲密函数为h（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
关于x的方程h（x）-t=0在$[0，\frac{π}{2}]$内恒有两个不相等实数根，
即函数y=h（x）的图象和直线y=t在$[0，\frac{π}{2}]$内恒有两个不同的交点．
如图所示：∴t∈[$\sqrt{3}$，2）．

点评 本题主要考查新定义，正弦和函数的图象特征，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．