Question

已知圆C经过三点O（0，0）；A（1，1）；B（4，2）
（1）求圆C的方程；
（2）经过点M（1，-4）的直线l被圆C所截得的弦长为4

5

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：（1）设圆C的方程为 x²+y²+Dx+Ey+F=0，则根据圆C经过三点O（0，0）；A（1，1）；B（4，2），联立方程组，求得D、E、F的值，可得圆C的方程．
（2）由题意利用弦长公式可得圆心C到直线l的距离为

5

，用点斜式设出直线l的方程，利用点到直线的距离公式求得直线l的斜率k的值，可得直线l的方程．

解答： 解：（1）设圆C的方程为 x²+y²+Dx+Ey+F=0，则由圆C经过三点O（0，0）；A（1，1）；B（4，2），
可得

F=0 2+D+E+F=0 20+4D+2E=0

，求得 

D=-8 E=6 F=0

，可得圆C的方程为 x²+y²-8x+6y=0．
（2）由于圆心C（4，-3），半径为5，弦长为4

5

，故圆心C到直线l的距离为

5

．
再根据直线l经过点M（1，-4），可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为 y+4=k（x-1），即kx-y-4-k=0，
则由

|4k+3-4-k|

k2+1

=

5

，求得k=2，或 k=-

1

2

，
故直线l的方程为2x-y-6=0，或 x+2y+7=0．

点评：本题主要考查用待定系数法求求圆的方程，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．