Question

已知函数f（x）=2^x+1定义在R上．若f（x）能表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和
（1）求g（x）与h（x）的解析式
（2）设h（x）=t，p（t）=g（2x）+2mh（x）+m²-m-1（m∈R），求出p（t）的解析式；
（3）在（2）的条件下，若p（t）≥m²-m-1对于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用奇（偶）函数的关系式和方程思想，求出两个函数的解析式，再由条件证明对应函数的奇偶性，最后把函数f（x）的解析式代入求解；
（2）把 2x-

1

2x

=t两边平方后整体代入g（2x）进行化简，再代入函数p（t）解析式进行化简；
（3）根据h（x）在所给区间上的单调性，求出t的范围，由（2）求出的解析式对p（t）化简，求出m关于t的关系式，再由t的及函数的单调性可求m的范围

解答：解：（1）由题意可得2^x+1=f（x）=g（x）+h（x），且g（x）为偶函数，h（x）为奇函数
∵2^x+1=f（x）=g（x）+h（x），
∴2^-x+1=g（-x）+h（-x）=g（x）-h（x）
∴g（x）=2^x+2^-x，h（x）=2^x-2^-x
（2）由 2x-

1

2x

=t，则t∈R，平方得 t2=(2x-

1

2x

)2=22x+

1

22x

-2，
∴g(2x)=22x+

1

22x

=t2+2，
∴p（t）=t²+2mt+m²-m+1．
（3）∵t=h（x）=2x-

1

2x

在区间[1，2]上单调递增，
∴

3

2

≤t≤

15

4

若p（t）≥m²-m-1对于x∈[1，2]恒成立
则t²+2mt+2＞0
∴2m≥-（t+

2

t

）在[

3

2

，

15

4

]恒成立
而-（t+

2

t

）在[

3

2

，

15

4

]单调递减，则t=

3

2

时取得最大值-

17

6

∴m≥-

17

12

点评：本题是有关函数奇偶性和单调性应用的综合题，利用函数奇偶性的关系式列出方程求出两个函数的解析式，求函数的值域主要利用函数在区间上的单调性进行求解，考查了分析问题和解决问题的能力．