Question

（本小题共12分）

已知函数的图象过点，且在内单调递减，在上单调递增。

（1）求的解析式；

（2）若对于任意的，不等式恒成立，试问这样的是否存在.若存在，请求出的范围，若不存在，说明理由；

 

Answer 1

【答案】

（1）f(x)= x³+x²－2x+即为所求.  --------------5分

(2)存在m且m∈[0,1]附合题意

【解析】

试题分析：（1）∵，--------1分

由题设可知：即sinθ≥1， ∴sinθ=1.------3分

从而a= ,∴f(x)= x³+x²－2x+c,而又由f(1)= 得c=.∴f(x)= x³+x²－2x+即为所求.  --------------5分

(2)由=（x+2）（x－1），

易知f(x)在(－∞,－2)及(1,+∞)上均为增函数，在(－2,1)上为减函数.

①当m＞1时，f(x)在[m,m+3]上递增,故f(x)_max=f(m+3), f(x)_min=f(m)

由f(m+3)－f(m)=  (m+3)³+ (m+3)²－2(m+3)－m³－m²+2m=3m²+12m+≤，

得－5≤m≤1.这与条件矛盾. ------------8分

② 当0≤m≤1时，f(x)在[m,1]上递减, 在[1,m+3]上递增

∴f(x)_min=f(1), f(x)_max=max{ f(m),f(m+3) },

又f(m+3)－f(m)= 3m²+12m+=3(m+2)²－＞0(0≤m≤1)

∴f(x)_max= f(m+3)∴|f(x₁)－f(x₂)|≤f(x)_max－f(x)_min= f(m+3)－f(1)≤f(4)－f(1)= 恒成立.

故当0≤m≤1时，原不等式恒成立.----------------11分

综上，存在m且m∈[0,1]附合题意---------------12分

考点：本题考查了导数的运用

点评：导数本身是个解决问题的工具，是高考必考内容之一，高考往往结合函数甚至是实际问题考查导数的应用，求单调、最值、完成证明等，请注意归纳常规方法和常见注意点．