Question

已知tanα+

1

tanα

=

5

2

，α∈(

π

4

，

π

2

)，求cosα和sin(2α+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：由条件化简可得sin2α=

4

5

，再根据α的范围求出cos2α的值，再利用半角公式求出cosα，利用两角和的正弦公式求出sin（2α+

π

4

）=sin2αcos

π

4

+cos 2αsin

π

4

的值．

解答：解：∵tanα+

1

tanα

=

5

2

，∴

sinα

cosα

+

cosα

sinα

=

5

2

，∴

sin2α+cos2α

sinαcosα

=

5

2

，…（2分）
∴sin2α=

4

5

．…（3分）　　　
又∵α∈(

π

4

，

π

2

)，∴2α∈(

π

2

，π)，…（4分）
∴cos2α=-

1-sin22α

=-

3

5

，…（6分）∴cosα=

1+cos2α 2

=

5

5

，…（8分）
∴sin（2α+

π

4

）=sin2αcos

π

4

+cos2αsin 

π

4

=

2

10

． …（10分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正确选择公式，是解题的关键，属于中档题．