Question

19．已知点F（-1，0）是椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1（{a＞0}）$的一个焦点，点M为椭圆C上任意一点，点N（3，2），则|MN|+|MF|取最大值时，直线MN的斜率为1．

Answer 1

分析 如图所示，设椭圆的右焦点为F′．由题意可得：c=1，b=1，a²=b²+c²．由椭圆的定义可得：|MF|+|MF′|=2a，
再利用三点N，M，F′共线时取最值，即可得出．

解答 解：如图所示，设椭圆的右焦点为F′．
由题意可得：c=1，b=1，∴a²=b²+c²=2．
由椭圆的定义可得：|MF|+|MF′|=2a，
∴则|MN|+|MF|=|MN|+2a-|MF′|≤|MF′|+2a．
当且仅当三点N，M，F′共线时取等号．
∴${k}_{N{F}^{′}}$=$\frac{2-0}{3-1}$=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．