Question

已知双曲线y²-

x2

3

=1的两个焦点为F₁、F₂，若A、B分别为渐近线l₁、l₂上的点，且2|AB|=5|F₁F₂|．求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明是什么曲线？

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x，y），利用2|AB|=5|F₁F₂|，建立方程，根据A、B分别为l₁、l₂上的点，化简可得轨迹方程及对应的曲线．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x，y）
∵2|AB|=5|F₁F₂|，∴|AB|=

5

2

|F₁F₂|=10，∴

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=10
∵y₁=

3

3

x₁，y₂=-

3

3

x₂，2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂
∴y₁+y₂=

3

3

（x₁-x₂），y₁-y₂=

3

3

（x₁+x₂），
∴3×(2y)2+

1

3

×(2x)2=100
∴

x2

75

+

3y2

25

=1，对应的曲线为椭圆．

点评：本题考查轨迹方程的求解，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．