设等差数列{an}的前n项和是Sn，已知S3=9，S6=36．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）是否存在正整数m、k，使am，am+5，ak成等比数列？若存在，求出m和k的值，若不存在，说明理由；
（3）设数列{bn}的通项公式为bn=3n-2．集合A={x|x=an，n∈N*}，B={x|x=bn，n∈N*}．将集合A∪B中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，求{cn}的通项公式．
解：（1）设等差数列{a
n}的公差是d，
由S
3=9和S
6=36，
得
，解得a
1=1，d=2，
∴a
n=a
1+（n-1）d=2n-1，
故数列{a
n}的通项公式a
n=2n-1．
（2）存在正整数m、k，使a
m，a
m+5，a
k成等比数列．
∵存在正整数m、k，使a
m，a
m+5，a
k成等比数列，
∴（2m-1）（2k-1）=（2m+9）
2，
∴
=
=2m-1+20+
，
即
，m，k是正整数，
∴存在正整数m，k，使a
m，a
m+5，a
k成等比数列，
m，k的值分别是m=1，k=61或m=3，k=23，或m=13，k=25．
（3）∵a
3k-2=2（3k-2）-1=6k-5，
a
3k-1=2（3k-1）-1=6k-3，
a
3k=2•3k-1=6k-1，
b
2k-1=3（2k-1）-2=6k-5=a
3k-2，
b
2k=3•2k-2=6k-2∉A，
∴a
3k-2=b
2k-1＜a
3k-1＜b
2k＜a
3k，k=1，2，3，…，
即当n=4k-3，k∈N
*时，c
n=6k-5；
当n=4k-2，k∈N
*时，c
n=6k-3；
当n=4k-1，k∈N
*时，c
n=6k-2；
当n=4k，k∈N
*时，c
n=6k-1．
∴{c
n}的通项公式是c
n=
，
即
．
分析：（1）设等差数列{a
n}的公差是d，由S
3=9和S
6=36，得
，由此能够求出数列{a
n}的通项公式．
（2）存在正整数m、k，使a
m，a
m+5，a
k成等比数列．由a
m，a
m+5，a
k成等比数列，知（2m-1）（2k-1）=（2m+9）
2，解得
，m，k是正整数，由此能求出m，k的值．
（3）由a
3k-2=2（3k-2）-1=6k-5，a
3k-1=2（3k-1）-1=6k-3，a
3k=2•3k-1=6k-1，b
2k-1=3（2k-1）-2=6k-5=a
3k-2，b
2k=3•2k-2=6k-2∉A，由此能求出{c
n}的通项公式．
点评：本题考查数列与函数的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
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