Question

设函数f（x）=x³-6x+5，x∈R．
（1）若关于X的方程f（x）=a有三个不同的实根，求实数a=的取值范围；
（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x-1）恒成立．求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数的零点与方程根的关系,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，确定函数的单调性，求出函数f（x）的极大值为5+4

2

，极小值为5-4

2

，利用关于X的方程f（x）=a有三个不同的实根，即可求实数a的取值范围；
（2）因为x∈（1，+∞），所以f（x）≥k（x-1）恒成立可转化为k≤

x3-6x+5

x-1

恒成立，再化简k≤

x3-6x+5

x-1

，求最小值即可．

解答： 解：（1）f′(x)=3x2-6=0⇒x=±

2

x	(-∞，- 2 )	- 2	(- 2 ， 2 )	2	( 2 ，+∞)
f'（x）	+		-		+
		5+4 2		5-4 2

所以函数f（x）的极大值为5+4

2

，极小值为5-4

2

，
∵关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根，
∴5-4

2

＜a＜5+4

2

；（6分）
（2）x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x-1）恒成立，也就是k≤

x3-6x+5

x-1

恒成立，
令g（x）=

x3-6x+5

x-1

，则g（x）=x²+x-5，
∴g（x）的最小值为-3，
∴k≤-3．（12分）

点评：本题主要考查了利用导数求函数单调区间，极值，以及函数的极值的应用，综合性强．