Question

1．已知函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x+1}+b$（a，b∈R）
（1）当a=4，b=-2时，求函数f（x）在x=1处的切线方程
（2）在（1）的前提下，若函数f（x）的图象恒不在曲线y=$\frac{k}{x+1}$（x≥1）的下方，求k的取值范围
（3）若f（x）在定义域上是单调函数，且零点为1，求a（b+1）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定切线的斜率，切点的坐标，即可求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）题意，lnx+$\frac{4}{x+1}$-2-$\frac{k}{x+1}$≥0（x≥1）恒成立，可得k≤（x+1）lnx+2-2x（x≥1），求出右边的最大值，即可求k的取值范围
（3）f（x）定义域为（0，+∞），f（1）=a+b+1=0，所以b+1=-a，利用f（x）在定义域上是单调函数，所以f'（x） 在x＞0时，要么恒≥0，要么恒≤0，可得a≤0，即可求a（b+1）的取值范围．

解答 解：（1）当a=4，b=-2时，f（x）=lnx+$\frac{4}{x+1}$-2，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{（x+1）^{2}}$，
∴f′（1）=0，f（1）=0，
∴当a=4，b=-2时，函数f（x）在x=1处的切线方程y=0；
（2）由题意，lnx+$\frac{4}{x+1}$-2-$\frac{k}{x+1}$≥0（x≥1）恒成立，
∴k≤（x+1）lnx+2-2x（x≥1）．
令g（x）=（x+1）lnx+2-2x，g′（x）=lnx+$\frac{1-x}{x}$＜0，函数单调递减，
∴x=1时，g（x）_max=0，
∴k≤0；
（3）f（x）定义域为（0，+∞），f（1）=a+b+1=0，所以b+1=-a，
而f'（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$．
由于f（x）在定义域上单调，所以f'（x） 在x＞0时，要么恒≥0，要么恒≤0，
即 x-a≥0 或者 x-a≤0，
也即 x≥a 或者 x≤a 当x＞0时，两者之一恒成立，
而显然当x＞0时，x≤a不可能恒成立，
所以只能a≤0，
从而a（b+1）=-a²≤0．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．