Question

已知P是抛物线C：x²=2y上异于原点的一点．
（1） 过P点的切线l₁与x轴、y轴分别交于点M、N，求的值；
（2）过P点与切线l₁垂直的直线l₂与抛物线C交于另一点Q，且与x轴、y轴分别交于点S、T，求的取值范围．

Answer 1

解：（1）设点，
∵y'=x，故过点P的切线方程为，
令y=0得，
又N点的横坐标为0，故M为PN的中点，
∴；（4分）
（2）设直线l：y=kx+b，由题意k≠0，b≠0则T（0，b）
分别过P，Q作PP'⊥x轴，QQ'⊥x轴，垂足分别为P'，Q'，
则，
由消去x得y²-2（k²+b）y+b²=0
则（7分）
∴，（9分）
又y₁≠y₂，
∴的取值范围是（2，+∞）．
分析：（1）由P是抛物线C：x²=2y上异于原点的一点，设出点P的坐标，求出抛物线解析式的导函数，把P的横坐标代入导函数求出的导函数值即为切线方程的斜率，由P的坐标和表示出的斜率写出切线的方程，令y=0求出点M的横坐标，又点N的横坐标为0，根据中点坐标公式，得到M为PN的中点，即PM=MN，即可求出的值；
（2）设出直线l的方程为y=kx+b，分别过P，Q作PP'⊥x轴，QQ'⊥x轴，垂足分别为P'，Q'，根据三角形的相似得到所求式子与点P和点Q的纵坐标有关的式子，与抛物线方程联立消去x得到关于y的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，根据基本不等式把所求式子利用基本不等式化简后，将两根之积代入即可求出所求式子的最小值，进而得到所求式子的取值范围．
点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，灵活运用韦达定理及基本不等式化简求值，灵活运用三角形相似得对应边成比例解决实际问题，是一道中档题．