Question

已知P是抛物线C：x²=2y上异于原点的一点．
（1） 过P点的切线l₁与x轴、y轴分别交于点M、N，求

PM

MN

的值；
（2）过P点与切线l₁垂直的直线l₂与抛物线C交于另一点Q，且与x轴、y轴分别交于点S、T，求

ST

SP

+

ST

SQ

的取值范围．

Answer 1

（1）设点P(x0， 

1

2

x

20

) (x0≠0)，
∵y'=x，故过点P的切线方程为y-

1

2

x

20

=x0(x-x0)，
令y=0得x=

x0

2

，
又N点的横坐标为0，故M为PN的中点，
∴

PM

MN

=1；（4分）
（2）设直线l：y=kx+b，由题意k≠0，b≠0则T（0，b）
分别过P，Q作PP'⊥x轴，QQ'⊥x轴，垂足分别为P'，Q'，
则

ST

SP

+

ST

SQ

=

OT

P′P

+

OT

Q′Q

=

b

y1

+

b

y2

，
由

x2=2y y=kx+b

消去x得y²-2（k²+b）y+b²=0
则

y1+y2=2(k2+b) y1y2=b2

（7分）
∴

ST

SP

+

ST

SQ

=

b

y1

+

b

y2

≥2b

1 y1y2

=2b•

1

b

=2，（9分）
又y₁≠y₂，
∴

ST

SP

+

ST

SQ

的取值范围是（2，+∞）．