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现有一个质地均匀的正方体玩具,它的六个面上分别写着1,1,2,2,3,3六个数字,
(1)ξ表示投掷3次上面玩具出现正面朝上的数字为1的次数,求ξ的数学期望Eξ;
(2)如图,在平面直角坐标系中,设点N(n,0),其中n∈N*;动点Q由原点O出发,按照投掷的数字沿x轴自左向右移动相应个单位长度(如投出的数字为1就沿x轴向右移动1个单位长度,以此类推)
①当n=5时,求动点Q恰好能移动到N点的概率.
②若动点Q恰好能移动到N点的不同移动方法种数记为an,求a8,并说明理由.
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(1)依题意得ξ服从二项分布,即:ξ~B (3,
1
3
)
,所以Eξ=np=
1
3
=1
…(3分)
另依题意得ξ的所有取值为0、1、2、3
p(ξ=0)=
C03
(
1
3
)0(
2
3
)3=
8
27
,p(ξ=1)=
C13
(
1
3
)1(
2
3
)2=
4
9
p(ξ=2)=
C23
(
1
3
)2(
2
3
)1=
2
9
,p(ξ=3)=
C33
(
1
3
)3(
2
3
)0=
1
27

∴ξ的分布列为:
ξ 0 1 2 3
P
8
27
4
9
2
9
1
27
Eξ=
8
27
+1×
4
9
+2×
2
9
+3×
1
27
=1
…(3分)
(2)①记“动点Q恰好能到达N点”为事件A,记“投掷i次,动点Q恰好能到达N点”为事件Bi,i=2、3、4、5,显然B2、B3、B4、B5两两互斥.
投掷2次时,分别投出2、3和3、2这两种情况,所以P(B2)=2×
1
3
×
1
3
=
2
9
…(4分)

投掷3次时,分别投出1、1、3;1、3、1;3、1、1;2、2、1;2、1、2;1、2、2这6种情况,
所以P(B3)=6×
1
3
×
1
3
×
1
3
=
2
9
…(5分)

投掷4次时,分别投出1、1、1、2;1、1、2、1;1、2、1、1;2、1、1、1这4种情况,所以P(B4)=4×
1
3
×
1
3
×
1
3
×
1
3
=
4
81
…(6分)

投掷5次时,只有投出1、1、1、1、1这一种情况,所以P(B5)=
1
3
×
1
3
×
1
3
×
1
3
×
1
3
=
1
243
…(7分)
P(A)=P(B2+B3+B4+B5)=P(B2)+P(B3)+P(B4)+P(B5)=
121
243
…(8分)

(2)②方法一:
投掷3次时,投出1个2、2个3、恰好能到达N点,此时不同移动方法种数有3种,…(9分)
投掷4次时,投出2个1、2个3或1个3、2个2、1个1或4个2恰好都能到达N点,此时不同移动方法种数有
A44
A22
?
A22
+
A44
A22
+1=19种…(10分)

投掷5次时,投出1个3、1个2、3个1或3个2、2个1恰好能到达N点,此时不同移动方法种数有
A55
A33
+
A55
A33
?
A22
=30种…(11分)

投掷6次时,投出1个3、5个1或2个2、4个1恰好能到达N点,此时不同移动方法种数有
A66
A55
+
A66
A22
?
A44
=21种…(12分)

投掷7次时,投出1个2、6个1、恰好能到达N点,此时不同移动方法种数有
A77
A66
=7种…(13分)

投掷8次时,投出8个1恰好能到达N点,此时不同移动方法种数有1种,
所以a8=3+19+30+21+7+1=81…(14分)
②方法二:依题意得:a1=1,a2=2,a3=4,a4=7,a5=13,a6=24,a7=44,a8=81…(14分)
注:从第四项起,每一项都等于其前三项和.
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(1)ξ表示投掷3次上面玩具出现正面朝上的数字为1的次数,求ξ的数学期望Eξ;
(2)如图,在平面直角坐标系中,设点N(n,0),其中n∈N*;动点Q由原点O出发,按照投掷的数字沿x轴自左向右移动相应个单位长度(如投出的数字为1就沿x轴向右移动1个单位长度,以此类推)
①当n=5时,求动点Q恰好能移动到N点的概率.
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